Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，下列命題：
①函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為1；           
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)；  
④函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
其中所有正確的命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：已知函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，
①由于e^x＞0，e^-x＞0，可得函數(shù)f（x）的無(wú)零點(diǎn)；
②由于函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，即可得出圖象的對(duì)稱性；
③函數(shù)f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，當(dāng)x＞0時(shí)，利用函數(shù)y=e^2x單調(diào)遞增，可得e^2x＞1，函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減；同理函數(shù)f（x）在x＜0時(shí)單調(diào)性質(zhì)．但是在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；
④變形函數(shù)f（x）=1+

2

e2x-1

，當(dāng)x＞0時(shí)，利用函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，可得f（x）＞1；利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x＜0時(shí)，可得f（x）＜-1．即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：已知函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，
①∵e^x＞0，e^-x＞0，∴函數(shù)f（x）的無(wú)零點(diǎn)，不正確；
②∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，因此其函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，正確；
③函數(shù)f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=e^2x單調(diào)遞增，且e^2x＞1，∴函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減；同理函數(shù)f（x）在x＜0時(shí)單調(diào)遞減，但是函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，可得f（x）＞1；同理利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x＜0時(shí)，可得f（x）＜-1．因此函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
綜上可得：正確的命題為②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的單調(diào)性奇偶性值域及其零點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．