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已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,=是它的一條漸近線的一個方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點 (A,B都不同于點D),求證:為定值;
(3)對于雙曲線Γ:,E為它的右頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(都不同于點E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過定點?若是,請求出此定點的坐標;若不是,說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個,寫出類似結論(不要求書寫求解或證明過程).
情形一:雙曲線及它的左頂點;
情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點;
情形三:橢圓及它的頂點.
【答案】分析:(1)設雙曲線C的方程為,由頂點坐標、漸近線方程及a、b、c 的關系求出a、b的值即得.
(2)設P(x1,y1),R(x2,y2),當直線l的斜率存在時,設設此直線方程為y=k(x+3),由得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0,再由方程的根與系數關系及 為定值;當直線l的斜率不存在時,當直線AB垂直于x軸時,其方程為x=-3,A,B的坐標為(-3,4)、(-3,-4),代入可求;
(3)對于過定點問題,可先假設存在,即假設直線MN過定點,再利用設直線MN的方程為:x=my+t,聯立方程組,利用垂直關系求直線MN過定點,若出現矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.最后運用類比推理寫出類似結論.
解答:解:(1)設雙曲線C的方程為,則a=1,
,得,所以,雙曲線C的方程為
(2)當直線AB垂直于x軸時,其方程為x=-3,A,B的坐標為(-3,4)、(-3,-4),,得=0.
當直線AB不與x軸垂直時,設此直線方程為y=k(x+3),由得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則,,

=
=++9k2+1=0.綜上,=0為定值.
(3)當M,N滿足EM⊥EN時,取M,N關于x軸的對稱點M'、N',由對稱性知EM'⊥EN',此時MN與M'N'所在直線關于x軸對稱,若直線MN過定點,則定點必在x軸上.
設直線MN的方程為:x=my+t,
,得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0
設M(x1,y1),N(x2,y2),則,
由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0,
,
化簡得,或t=a(舍),
所以,直線MN過定點(,0).
情形一:在雙曲線Γ:中,若E'為它的左頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(都不同于點E'),且E'M⊥E'N,則直線MN過定點(,0).
情形二:在拋物線y2=2px(p>0)中,若M,N為拋物線上的兩點(都不同于原點O),且OM⊥ON,則直線MN過定點(2p,0).…..(16分)
情形三:(1)在橢圓中,若E為它的右頂點,M,N為橢圓上的兩點(都不同于點E),且EM⊥EN,則直線MN過定點(,0);
(2)在橢圓中,若E'為它的左頂點,M,N為橢圓上的兩點(都不同于點E'),且E'M⊥E'N,則直線MN過定點(,0);
(3)在橢圓中,若F為它的上頂點,M,N為橢圓上的兩點(都不同于點F),且FM⊥FN,則直線MN過定點(0,);        
(4)在橢圓中,若F'為它的下頂點,M,N為橢圓上的兩點(都不同于點F'),且F'M⊥F'N,則直線MN過定點(0,).
點評:本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程,直線與雙曲線的相交關系的應用,方程的根與系數關系的應用,向量的坐標表示的應用,屬于直線與曲線位置關系的綜合應用,屬于綜合性試題.
練習冊系列答案
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已知雙曲線C的中心在坐標原點O,對稱軸為坐標軸,點(-2,0)是它的一個焦點,并且離心率為
2
3
3

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知點M(0,1),設P(x0,y0)是雙曲線C上的點,Q是點P關于原點的對稱點,求
MP
MQ
的取值范圍.

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已知雙曲線C的中心在坐標原點,漸近線方程是3x±2y=0,左焦點的坐標為(-
13
,0)
,A、B為雙曲線C上的兩個動點,滿足
OA
OB
=0.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)求
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
的值;
(Ⅲ)動點P在線段AB上,滿足
OP
AB
=0,求證:點P在定圓上.

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已知雙曲線C的中心在原點,焦點在坐標軸上,P(1,-2)是C上的點,且y=
2
x
是C的一條漸近線,則C的方程為( 。

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(2013•松江區(qū)二模)已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點 (A,B都不同于點D),求
DA
DB
的值;
(3)對于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(M,N都不同于點E),且EM⊥EN,求證:直線MN與x軸的交點是一個定點.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(理) 在平面直角坐標系中,已知雙曲線C的中心在原點,它的一個焦點坐標為(
5
,0)
,
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點P,其中
op
=m
e1
+n
e2
(m,n∈R),則m,n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1

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