Question

探究函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，+∞）上的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	14	7	5.33	5.11	5.01	5	5.01	5.04	5.08	5.67	7	8.6	12.14	…

（1）觀察表中y值隨x值變化趨勢的特點，請你直接寫出函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并指出f（x）的最小值及此時x的值．
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，a]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）由表中可知f（x）在（0，2]為減函數(shù)，[2，+∞）為增函數(shù)，并且當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，計算f（x₁）-f（x₂）=

2(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

＞0，可得f（x）在（0，2]為減函數(shù)．
（3）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，分①當(dāng)0＜a＜2時、②當(dāng)a≥2時，兩種情況分別求得f（x）_min，從而得出結(jié)論

解答：解：（1）由表中可知f（x）在（0，2]為減函數(shù)，
[2，+∞）為增函數(shù)，并且當(dāng)x=2時，f（x）_min=5．  
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，
因為f（x₁）-f（x₂）=2x₁+

8

x1

-3-（2x₂+

8

x2

-3）=2（x₁-x₂）+

8(x2-x1)

x1x2

=

2(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（0，2]為減函數(shù)．   
（3）由（2）可證：函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．
則①當(dāng)0＜a＜2時，（0，a]⊆（0，2]，所以函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減，
故f（x）_min=f（a）=2a+

8

a

-3．
②當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞減，[2，a]上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=f（2）=5．
綜上所述，函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在區(qū)間（0，a]上的最小值為 g（a）=

2a+ 8 a -3，0＜a＜2 5，a≥2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．