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4.如圖,幾何體ABCA1B1C1中,面ABC是邊長為2的正三角形,AA1,BB1,CC1都垂直于面ABC,且AA1=2BB1=2CC1=2,D為B1C1的中點(diǎn),E為A1D的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AE⊥面A1B1C1;
(Ⅱ)求BC1與面A1B1C1所成角的正弦值.

分析 (I)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,OD,以O(shè)為原點(diǎn)就空間直角坐標(biāo)系,求出AE,B1C1A1B1的坐標(biāo),利用數(shù)量積為0證明AE⊥B1C1,AE⊥A1B1,從而得出AE⊥面A1B1C1;
(II)由(I)可知AE為平面A1B1C1的一個法向量,于是BC1與面A1B1C1所成角的正弦值等于|cos<BC1,AE>|.

解答 證明:(I)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,OD,則OD∥A1A,OA⊥BC.
∵AA1⊥平面ABC,∴OD⊥平面ABC.
以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)C,OA,OD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:
則O(0,0,0),A(0,3,0),A1(0,3,2),B1(-1,0,1),C1(1,0,1),D(0,0,1),E(0,32,32).
AE=(0,-32,32),B1C1=(2,0,0),A1B1=(-1,-3,-1),
AEB1C1=0,AEA1B1=0,
∴AE⊥B1C1,AE⊥A1B1,又B1C1?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,A1B1∩B1C1=B1,
∴AE⊥平面A1B1C1
(II)由(I)知AE=(0,-32,32)為平面A1B1C1的一個法向量,
BC1=(2,0,1),∴BC1AE=32,|AE|=3,|BC1|=5,
∴cos<BC1,AE>=BC1AE|BC1||AE|=1510
∴BC1與面A1B1C1所成角的正弦值為1510

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定,線面角的計算,空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.

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甲班101215182436
乙班121622262838
如果學(xué)生平均每周上網(wǎng)的時長超過19小時,則稱為“過度上網(wǎng)”.
(1)從甲班的樣本中有放回地抽取3個數(shù)據(jù),求恰有1個數(shù)據(jù)為“過度上網(wǎng)”的概率;
(2)從甲班、乙班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù),記“過度上網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為X,寫出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

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