分析 (I)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,OD,以O(shè)為原點(diǎn)就空間直角坐標(biāo)系,求出→AE,→B1C1,→A1B1的坐標(biāo),利用數(shù)量積為0證明AE⊥B1C1,AE⊥A1B1,從而得出AE⊥面A1B1C1;
(II)由(I)可知→AE為平面A1B1C1的一個法向量,于是BC1與面A1B1C1所成角的正弦值等于|cos<→BC1,→AE>|.
解答 證明:(I)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,OD,則OD∥A1A,OA⊥BC.
∵AA1⊥平面ABC,∴OD⊥平面ABC.
以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)C,OA,OD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:
則O(0,0,0),A(0,√3,0),A1(0,√3,2),B1(-1,0,1),C1(1,0,1),D(0,0,1),E(0,√32,32).
∴→AE=(0,-√32,32),→B1C1=(2,0,0),→A1B1=(-1,-√3,-1),
∴→AE•→B1C1=0,→AE•→A1B1=0,
∴AE⊥B1C1,AE⊥A1B1,又B1C1?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,A1B1∩B1C1=B1,
∴AE⊥平面A1B1C1.
(II)由(I)知→AE=(0,-√32,32)為平面A1B1C1的一個法向量,
∵→BC1=(2,0,1),∴→BC1•→AE=32,|→AE|=√3,|→BC1|=√5,
∴cos<→BC1,→AE>=→BC1•→AE|→BC1||→AE|=√1510.
∴BC1與面A1B1C1所成角的正弦值為√1510.
點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定,線面角的計算,空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.
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甲班 | 10 | 12 | 15 | 18 | 24 | 36 |
乙班 | 12 | 16 | 22 | 26 | 28 | 38 |
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A. | 4 | B. | 8 | C. | √3 | D. | 2√2 |
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A. | 39√3 | B. | 78√3 | C. | 39 | D. | 78 |
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