Question

已知D、E分別在平面ABC的同側(cè)，且DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，DC=2，△ABC是邊長為2的正三角形，F(xiàn)是AD中點(diǎn)．
（1）當(dāng)BE等于多少時(shí)，EF∥平面ABC；
（2）當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，求平面DAE和平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，則FG∥DC∥BE，易知當(dāng)BE=1時(shí)，BEFG為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（2）由（1）知，當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，BE=1，取BC中點(diǎn)O，過O作OZ⊥平面ABC，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角可求得結(jié)果；

解答：解：（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，則FG∥DC∥BE，
當(dāng)BE=1時(shí)，有FG=BE，即BEFG為平行四邊形，
故當(dāng)BE=1時(shí)，EF∥BG，且BG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）由（1）知，當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，BE=1，取BC中點(diǎn)O，過O作OZ⊥平面ABC，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（

3

，0，0），B（0，1，0），E（0，1，1），D（0，-1，2），
平面ABC的法向量為

BE

=(0，0，1)，
設(shè)平面ADE法向量為

n

=(x，y，z)，

AD

=（-

3

，-1，2），

DE

=（0，2，-1），
由

n • AD =0 n • DE =0

，得

- 3 x-y+2z=0 2y-z=0

，取z=2，則y=1，x=

3

，
∴

n

=(

3

，1，2)，
∴cos＜

BE

，

n

＞=

BE • n

| BE || n |

=

2

2 2

=

2

2

，則＜

BE

，

n

＞=45°，
∴平面DAE和平面ABC所成角為45°或135°．

點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定、二面角的求解，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理論證能力、空間想象能力．