Question

7．定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知雙曲線C₁：$\frac{{y}^{2}}{a}$-x²=1到直線l：y+$\sqrt{2}$=0的距離等于圓C₂：x²+y²-8x-10y+16=0到直線l：y+$\sqrt{2}$=0，則實數(shù)a=1．

Answer 1

分析 根據(jù)曲線C到直線l的距離的定義先氣求出圓C₂到直線l：y+$\sqrt{2}$=0的距離，然后建立方程關(guān)系即可．

解答 解：圓的標準方程為（x-4）²+（y-5）²=25，
則圓心為（4，5），半徑r=5，
則圓C₂：x²+y²-8x-10y+16=0到直線l：y+$\sqrt{2}$=0的距離d=$\sqrt{2}$，
雙曲線C₁：$\frac{{y}^{2}}{a}$-x²=1到直線l：y+$\sqrt{2}$=0的距離即為頂點（0，-$\sqrt{a}$）到y(tǒng)=-$\sqrt{2}$的距離，
即-$\sqrt{2}$-（-$\sqrt{a}$）=$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{a}$=2$\sqrt{2}$，
則a=8，
故答案為：8．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)曲線C到直線l的距離的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．