Question

已知函數f（x）=sin²x+cos（x+

π

2

）-a，x∈[0，2π]，a∈R．
（1）當f（x）=0有實數解時，求a的取值范圍；
（2）當x∈[0，2π]時，1≤f（x）≤5總成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：（1）令t=sinx，可得g（t）=t²-t-a 在[0 1]上有零點，根據t∈[0，1]，a=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，求得a的范圍．
（2）由題意可得，-1≤t≤1，即a≤t²-t-1，且a≥t²-t-5．分別求得t²-t-1的最小值，t²-t-5的最大值，可得a的范圍．

解答： 解：（1）令t=sinx，則由x∈[0，2π]，可得t∈[0，1]，
∴函數f（x）=sin²x+cos（x+

π

2

）-a=g（t）=t²-t-a．
由f（x）=0有實數解，可得a=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，0]．
（2）由題意可得，當x∈[0，2π]時，-1≤t≤1，1≤t²-t-a≤5總成立，
即a≤t²-t-1，且a≥t²-t-5．
由于t²-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

≥-

5

4

，∴a≤-

5

4

．
由于t²-t-5=(t-

1

2

)2-

21

4

≤-5，∴a≥-5．
故有-5≤a≤-

5

4

．

點評：本題主要考查三角恒等變換可得，二次函數的性質，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．