在直角坐標系xOy中，動點P到兩定點(0，-
3
)，(0，
3
)的距離之和等于4，設動點P的軌跡為C，過點(0，
3
)的直線與C交于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）設d為A、B兩點間的距離，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．
分析：（1）由題意，由于動點P到兩定點(0，-
3
)，(0，
3
)的距離之和等于4，有橢圓的定義知此動點的軌跡應為橢圓，有橢圓的定義即可得動點的軌跡方程；
（2）有題意，求過焦點的直線與橢圓產生的交點構成的過焦點的弦長，有焦半徑公式即可求得．
解答：解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以（0，-
3
），（0，
3
）為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=
22-(
3
)2
=1，
故曲線C的方程為x2+
y2
4
=1．
（2）①設過點（0，
3
）的直線方程為y=kx+
3
，A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐標滿足
x2+
y2
4
=1
y=kx+
3

消去y并整理得（k2+4）x2+2
3
kx-1=0．
∴x1+x2=-
2
3
k
k2+4
，y1+y2=k（x1+x2）+2
3
=-
2
3
k2
k2+4 
+2
3
．
∴d=|AF|+|BF|=e（
a2
c
-y1）+e（
a2
c
-y2）
=2a-e（y1+y2）=4=4+
3k2
k2+4
-3
=4-
12
k2+4
．
∵k2≥0，∴k=0時，d取得最小值1．
②當k不存在時，過點（0，
3
）的直線方程為x=0，
此時交點A、B分別為橢圓C的長軸的兩端點，
∴d取最大值4．
綜上，d的最大值、最小值存在，分別為4、1．
點評：（1）此問重點考查了利用定義法求動點的軌跡方程，關鍵要理解好橢圓定義的條件，并準確加以判斷；
（2）此問重點考查了利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解過焦點的弦長問題，并且還考查了解析幾何中設而不求，整體代換的思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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