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10.用“轉(zhuǎn)移代入法”解以下各題:
(1)已知點(diǎn)A在圓x2+y2=16上移動(dòng),P(x,y)是連結(jié)點(diǎn)M(8,0)和點(diǎn)A的線段的中點(diǎn),求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)已知圓x2+y2=9上的定點(diǎn)P(0,3)及動(dòng)點(diǎn)Q,延長(zhǎng)弦PQ至R,使PQQR=13,求點(diǎn)R的軌跡方程;
(3)已知定點(diǎn)A(2,0)及圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)Q,∠AOQ的角平分線交AQ于點(diǎn)P(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(4)已知點(diǎn)A(-1,0)與點(diǎn)B(1,0),C是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D,使|CD=|BC|,求AC與OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的交點(diǎn)P的軌跡方程.

分析 (1)設(shè)A(x1,y1),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,{x1+8=2xy1+0=2y,進(jìn)一步得{x1=2x8y1=2y,代入x2+y2=16,得(2x-8)2+(2y)2=16,化簡(jiǎn)則可求出點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)R(x,y),Q(x1,y1)(y1≠3),由已知P和PQQR=13,得QR=3PQ,即(x-x1,y-y1)=3(x1
y1-3),則{xx1=3x1yy1=3y19,進(jìn)一步得{x1=x4y1=y+94,代入x2+y2=9化簡(jiǎn)整理即可得到點(diǎn)R的軌跡方程;
(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由三角形內(nèi)角平分線定理寫出方程組,解出x0和y0,代入已知圓的方程即可.此求軌跡方程的方法為相關(guān)點(diǎn)法;
(4)先設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo),然后用要求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出已知軌跡方程的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo),再代入已知的軌跡方程,即可求出點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的方程.本題宜先借且圖象分析其幾何 特征,將幾何特征進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),由題意得,{x1+8=2xy1+0=2y,∴{x1=2x8y1=2y,
代入x2+y2=16,得(2x-8)2+(2y)2=16,即(x-4)2+y2=4.
∴點(diǎn)P的軌跡方程是(x-4)2+y2=4;
(2)設(shè)R(x,y),Q(x1,y1)(y1≠3),又P(0,3),
PQQR=13,得QR=3PQ,即(x-x1,y-y1)=3(x1,y1-3),
{xx1=3x1yy1=3y19,得{x1=x4y1=y+94,代入x2+y2=9得:x216+y+9216=9(y≠3);
(3)在△AOQ中,∵OP是∠AOQ的平分線
|AP||QP|=|OA||OQ|=2
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
{x=2+2x03y=2y03,即{x0=3x22y0=3y2
∵Q(x0,y0)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),∴x02+y02=1,
3x222+3y22=1
x232+y2=49;
(4)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),由題意可知P是△ABD的重心,故連接AD.
由A(-1,0),B(1,0),令動(dòng)點(diǎn)C(x0,y0),則D(2x0-1,2y0),
由重心坐標(biāo)公式:{x=1+1+2x013y=2y03,得{x0=3x+12y0=3y2y00
代入x2+y2=1,整理得所求軌跡方程為(x+132+y2=49(y≠0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法,訓(xùn)練了代入法.在用此法時(shí),注意一些點(diǎn)的取舍,是中檔題.

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