Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC、CC₁的中點(diǎn)，求證：面A₁B₁F⊥面C₁DE．

Answer 1

分析 由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，知A₁B₁⊥C₁E，再證明C₁E⊥B₁F，由此能夠證明平面A₁B₁F⊥平面C₁DE．

解答 證明：∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥C₁E，
∵E、F分別是BC、CC₁的中點(diǎn)，
∴△B₁C₁F∽△C₁CE，
∴∠C₁FB₁=∠CEC₁，
∴∠C₁FB₁+∠EC₁F=90°
∴C₁E⊥B₁F．
又∵A₁B₁∩B₁F=B₁，∴C₁E⊥平面A₁B₁F．
∵C₁E?平面C₁DE，
∴平面A₁B₁F⊥平面C₁DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面垂直的判定，注意空間想象能力的培養(yǎng)．