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20.圓O上兩點C,D在直徑AB的兩側(cè)(如圖甲),沿直徑AB將圓O折起形成一個二面角(如圖乙),若∠DOB的平分線交弧^BD于點G,交弦BD于點E,F(xiàn)為線段BC的中點.
(Ⅰ)證明:平面OGF∥平面CAD;
(Ⅱ)若二面角C-AB-D為直二面角,且AB=2,∠CAB=45°,∠DAB=60°,求直線FG與平面BCD所成角的正弦值.

分析 (I)利用中位線定理和圓的性質(zhì)分別證明OF∥AC,OG∥AD,故而得出平面OGF∥平面CAD;
(II)連結(jié)DG,則可證四邊形OADG是菱形,OC⊥平面ABD,以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BCD的法向量nFG的坐標(biāo),則直線FG與平面BCD所成角的正弦值為|cos<FGn>|.

解答 證明:(Ⅰ)∵OF為△ABC的一條中位線
∴OF∥AC,又OF?平面ACD,AC?平面ACD,
∴OF∥平面ACD.
又∵OG為∠DOB的平分線,∴OG⊥BD,
∵AB是⊙O的直徑,∴AD⊥BD,
∴OG∥AD,又OG?平面ACD,AD?平面ACD,
∴OG∥平面ACD,
又∵OG,OF為平面OGF內(nèi)的兩條相交直線,
∴平面OGF∥平面CAD
(Ⅱ)∵O為AB的中點,∴CO⊥AB,
∵平面CAB⊥平面DAB,平面CAB∩平面DAB=AB,OC?平面ABC,
∴CO⊥平面DAB,
又Rt△DAB中,AB=2,∠DAB=60°,∴AD=1,又OG∥AD,OG=1,OA=1,
∴四邊形ADGO為菱形,∠AOG=120°,
設(shè)DG中點為M,則∠AOM=90°,即OM⊥OB,
∴直線OM,OB,OC兩兩垂直,
以O(shè)為原點,以O(shè)M,OB,OC為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
則B(0,1,0),C(0,0,1),D(32,120,G(32,120,F(xiàn)(0,12,12).
FG=(32,012,BC=(0,-1,1),BD=(32,-32,0).
設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z),則nBC=0nBD=0
{y+z=032x32y=0,令y=1,n=(3,1,1).
FGn=1,|FG|=1,n=5
cosFGn=FGn|FG|.|n|=55
∴直線FG與平面BCD所成角的正弦值為55

點評 本題考查了面面平行的判定,空間角的計算,空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.

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