Question

已知f（x）=2^x可以表示成一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和，若關于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立，則實數a的最小值是________．

Answer 1

-
分析：由題意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②從而可得h（x）=，g（x）=
而ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立即a對于x∈[1，2]恒成立即對于x∈[1，2]恒成立，只要求出函數的最大值即可
解答：f（x）=2^x可以表示成一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②聯立可得，h（x）=，g（x）=
ag（x）+h（2x）≥0對于x∈[1，2]恒成立
a對于x∈[1，2]恒成立
對于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈則t在t∈單調遞增，
t=時，則t=
a
故答案為：
點評：本題主要考查了奇偶函數的定義的應用，函數的恒成立的問題，常會轉化為求函數的最值問題，體現了轉化思想的應用．