Question

2．函數(shù)f（x）=2cos²x+cos（2x+$\frac{π}{3}$）-1在[0，π]內(nèi)的一條對稱軸方程是$x=\frac{5π}{12}$或$x=\frac{11π}{12}$，在[0，π]內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間是$[\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}]$．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得函數(shù)的圖象一條對稱軸方程；在另一棟正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在[0，π]內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=2cos²x+cos（2x+$\frac{π}{3}$）-1=cos2x+cos（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
可得函數(shù)的圖象一條對稱軸方程可以是$x=\frac{5π}{12}$或$x=\frac{11π}{12}$中的一條．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[0，π]，求得函數(shù)的遞增區(qū)間為$[\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}]$，
故答案為：$x=\frac{5π}{12}$或$x=\frac{11π}{12}$；$[\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對稱性以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．