已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)-x的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在公共定義域內(nèi),g(x)-f(x)>2;
(Ⅲ)若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2且x1≠x2,滿足f(x1)=ax1,f(x2)=ax2.求證:x1x2>e2
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)函數(shù)y=f(x)-x的定義域?yàn)椋?,+∞),再求導(dǎo)y′=
1
x
-1,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)先求函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的公共定義域,從而化簡(jiǎn)g(x)-f(x)=ex-lnx=(ex-x)-(lnx-x),從而設(shè)m(x)=ex-x,設(shè)n(x)=lnx-x,從而證明.
(Ⅲ)不妨設(shè)x1>x2>0,從而可得lnx1+lnx2=a(x1+x2);從而可得a=
lnx1-lnx2
x1-x2
2
x1+x2
;令h(t)=lnt-
2(t-1)
t+1
(t>1);從而利用導(dǎo)數(shù)證明.
解答: 解:(Ⅰ)函數(shù)y=f(x)-x的定義域?yàn)椋?,+∞),
y′=
1
x
-1,
故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y′>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),y′<0,
故函數(shù)y=f(x)-x的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞);

(Ⅱ)證明:函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的公共定義域?yàn)椋?,+∞),
g(x)-f(x)=ex-lnx=(ex-x)-(lnx-x),
設(shè)m(x)=ex-x,則m′(x)=ex-1>0,則m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故m(x)>m(0)=1;
設(shè)n(x)=lnx-x,則n′(x)=
1
x
-1,當(dāng)x=1時(shí)有極大值點(diǎn),
n(x)≤n(1)=-1;
故g(x)-f(x)=m(x)-n(x)>2;
故函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在公共定義域內(nèi),g(x)-f(x)>2.

(Ⅲ)證明:不妨設(shè)x1>x2>0,由題意得,
lnx1=ax1,lnx2=ax2;
所以lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2);
而要證x1x2>e2,
只需證明lnx1+lnx2>2;
即證明a(x1+x2)>2;
即證明a=
lnx1-lnx2
x1-x2
2
x1+x2

即證明,ln
x1
x2
2(x1-x2)
x1+x2
;
x1
x2
=t,則t>1;
即證明lnt>
2(t-1)
t+1
;
設(shè)h(t)=lnt-
2(t-1)
t+1
(t>1);
則h′(t)=
1
t
-
4
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2
>0,
故函數(shù)h(t)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),
所以h(t)>h(1)=0,
即lnt>
2(t-1)
t+1
;
所以不等式x1x2>e2成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)性與極值的應(yīng)用,同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式的思想,屬于難題.
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a
2
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6
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3
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3
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3
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