Question

兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)滿足條件∠MBA=2∠MAB，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：用動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)體現(xiàn)2∠MAB=∠MBA的最佳載體是直線MA、MB的斜率，確定直線的斜率可求．
解答：解：設(shè)M（x，y），∠MAB=α，則∠MBA=2α，它們是直線MA、MB的傾角還是傾角的補(bǔ)角，與點(diǎn)M在x軸的上方還是下方有關(guān)；以下討論：
①若點(diǎn)M在x軸的上方，α∈（0，），y＞0，
此時(shí)，直線MA的傾角為α，MB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_MA=，tan（π-2α）=，（2α≠90）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-=，得：3x²-y²=3，
∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
當(dāng)2α=90°時(shí)，α=45°，△MAB為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3），它滿足上述方程．
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，y＜0，同理可得點(diǎn)M的軌跡方程為3x²-y²=3（x≥1），
③當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，也滿足2∠MAB=∠MBA，此時(shí)y=0（-1＜x＜2）．
綜上所求點(diǎn)的軌跡方程為3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．
故答案為：3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，如何體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件2∠MAB=∠MBA是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題