Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，已知AB=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°
（1）求證：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求異面直線PC與AD所成角的大小；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥AD，PA⊥AD，由此能證明平面PAD⊥平面PAB．
（2）以AB中點O為原點，OB為x軸，OP為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，
∵AB=2，PA=2，PD=2

2

，
∴PA²+AD²=PD²，∴PA⊥AD，
又PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．
（2）解：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
AB=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°，
∴PA=AB=PB=2，
以AB中點O為原點，OB為x軸，OP為y軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得P（0，0，

3

），C（1，2，0），
A（-1，0，0），D（-1，2，0），

PC

=（1，2，-

3

），

AD

=（0，2，0），
cos＜

PC

，

AD

＞=

4

2 8

=

2

2

，
∴異面直線PC與AD所成角的大小為45°．
（3）解：∵PO⊥平面ABCD，PO=

3

，
S_{正方形ABCD}=2×2=4，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×PO×S正方形ABCD=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，考查四棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．