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7.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+alnx(a∈R,a≠0),f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在實(shí)數(shù)x1,x2,且x1<x2,使得f′(x1)=f′(x2)=0,求證:f(x2)>-4.

分析 (1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點(diǎn),運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程;
(2)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論判別式和a的范圍:a>2,0<a<2,a≤0,解二次不等式,即可得到所求單調(diào)區(qū)間;
(3)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)為0,解二次方程可得x2∈(1,2),設(shè)g(x)=f(x)+4=x2-4x+alnx+4,1<x<2,又a=4x-2x2,可得g(x)=x2-4x+(4x-2x2)lnx+4,求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得證.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2-4x+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x-4+1x,
則f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為2-4+1=-1,
切點(diǎn)為(1,-3),可得切線的方程為y+3=-(x-1),
即為x+y+2=0;
(2)函數(shù)f(x)=x2-4x+alnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x-4+ax(x>0)
=2x24x+ax,
①當(dāng)△=16-8a<0,即a>2,2x2-4x+a>0恒成立,可得f′(x)>0恒成立.
即有f(x)的增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間;
當(dāng)△=16-8a>0,即a<2,可得2x2-4x+a=0的兩根為x=1±1a2,
②當(dāng)0<a<2時(shí),1+1a2>1-1a2>0,
f′(x)>0,可得x>1+1a2,或0<x<1-1a2;
f′(x)<0,可得1-1a2<x<1+1a2,
即f(x)的增區(qū)間為(1+1a2,+∞),(0,1-1a2);減區(qū)間為(1-1a2,1+1a2);
③當(dāng)a≤0時(shí),1+1a2>0,1-1a2≤0,
f′(x)>0,可得x>1+1a2;
f′(x)<0,可得0<x<1+1a2,
即f(x)的增區(qū)間為(1+1a2,+∞);減區(qū)間為(0,1+1a2);
(3)證明:函數(shù)f(x)=x2-4x+alnx的導(dǎo)數(shù)為
f′(x)=2x-4+ax(x>0)=2x24x+ax,
由題意可得x1,x2是2x2-4x+a=0的兩根,且x2=1+1a2,0<a<2,
可得x2∈(1,2),
設(shè)g(x)=f(x)+4=x2-4x+alnx+4,1<x<2,
又a=4x-2x2,可得g(x)=x2-4x+(4x-2x2)lnx+4,
g′(x)=2x-4+(4-4x)lnx+(4x-2x2)•1x=4(1-x)lnx,
由1<x<2可得4(1-x)lnx<0,即g(x)在(1,2)遞減,
則g(x)∈(0,1),顯然g(x)>0恒成立,
則f(x2)>-4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的方程和單調(diào)區(qū)間,考查分類討論的思想方法,考查不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法,運(yùn)用單調(diào)性解決,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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