Question

已知函數(shù)f（x）=

log2(x+1)，x＞0 -x2+2x，x＜0

，若|f（x）|＞ax，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得，當(dāng)x＞0時(shí)，log₂（x+1）＞0恒成立，則此時(shí)應(yīng)有a≤0．當(dāng)x＜0時(shí)，|f（x）|=x²-2x＞ax，再分x=0、x＜0兩種情況，分別求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=

log2(x+1)，x＞0 -x2+2x，x＜0

，|f（x）|＞ax，
①當(dāng)x＞0時(shí)，log₂（x+1）＞0恒成立，不等式即log₂（x+1）＞ax，則此時(shí)應(yīng)有a≤0．
②當(dāng)x＜0時(shí)，由于-x²+2x的取值為（-∞，0]，故不等式即|f（x）|=x²-2x＞ax．
若x=0時(shí)，|f（x）|=ax，a取任意值．
若x＜0時(shí)，有a＞x-2，∴a≥-2．
綜上，a的取值為[-2，0]，
故答案為[-2，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．