Question

7．已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）滿足f′（x）＜1，若f（1-m）-f（m）＞1-2m，則實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)導數(shù)的定義，將不等式進行轉化，構造函數(shù)g（x）=f（x）-x，利用導數(shù)的研究函數(shù)的單調性，進行求解即可．

解答 解：設g（x）=f（x）-x，則g′（x）=f′（x）-1，
∵f（x）滿足f′（x）＜1，
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
即函數(shù)g（x）在定義域上為減函數(shù)，
若f（1-m）-f（m）＞1-2m，
則f（1-m）-f（m）＞（1-m）-m，
即f（1-m）-（1-m）＞f（m）-m，
即g（1-m）＞g（m），
則1-m＜m，得m＞$\frac{1}{2}$，
故實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的應用，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強．