Question

已知數(shù)列滿足：其中，數(shù)列滿足：

（1）求；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

 

Answer 1

（1）（2）（3）的取值集合是

【解析】

試題分析：(1)先由遞推公式求出

再用遞推公式求出 ；

(2)由

兩式相減可得 即： ,于是結合（1）的結論可得 .

(3)對于這類問題通常的做法是假設 的值存在,由（1）的結果知，

或 ,接下來可用數(shù)學歸納法證明結論成立即可.

試題解析：（1）經過計算可知：

.

求得. （4分）

（2）由條件可知：. ①

類似地有：. ②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：. （8分）

（3）假設存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).

則由（2）可知： ③

由，及可知.

當時，為整數(shù)，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，， 均為整數(shù).

當時，③變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718563922442270/SYS201411171856483028137564_DA/SYS201411171856483028137564_DA.040.png"> ④

我們用數(shù)學歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)

時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，所以時，命題成立.

故數(shù)列是整數(shù)列.

綜上所述，的取值集合是. （14分）

考點：1、數(shù)列的遞推公式；2、數(shù)學歸納法.