Question

( (本小題滿分13分)

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點坐標為(，0)，短軸一頂點與兩焦點連線夾角為120°.

(1)求橢圓的方程；   

(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為(－a,0)，點Q(0，m)在線段AB的垂直平分線上且·≤4，求m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由題意知a＝2b，c＝，a²＝b²＋c²

解得a＝2，b＝1

∴橢圓方程為＋y²＝1.(4分)

(2)由(1)可知A(－2,0)，設(shè)B點坐標為(x₁，y₁)，

直線l的方程為y＝k(x＋2)

于是A、B兩點的坐標滿足方程組 

由方程消去y并整理得

(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0

由－2x₁＝得x₁＝，從而y₁＝

設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標為(－，)(7分)

以下分兩種情況：

①當k＝0時，點B的坐標為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，

于是＝(－2，－m)，＝(2，－m)，

由·≤4

得：－2≤m≤2.(9分)

②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為

y－＝－(x＋)

令x＝0，得m＝－

由·＝－2x₁－m(y₁－m)

＝＋ (＋)

          ＝≤4

解得－≤k≤且k≠0(10分)

∴m＝－＝－

∴當－≤k<0時， ＋4k≤－4

  當0<k≤時，＋4k≥4

∴－≤m≤，且m≠0(12分)

綜上所述，－≤m≤，且m≠0.(13分)

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【解析】略