Question

在正三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥DE且BC=，若此正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的面上，則球O的體積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：先證明三棱錐的三個(gè)頂角都是90°，然后根據(jù)底面邊長(zhǎng)為，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐可以看作是正方體的一個(gè)角，故此正三棱錐的外接求即此正方體的外接球，由此求出正方體的體對(duì)角線(xiàn)即可得到球的直徑，則體積易求．
解答：解：∵EF∥AC，EF⊥DE
∴AC⊥DE
∵AC⊥BD（正三棱錐性質(zhì)）
∴AC⊥平面ABD
所以正三棱錐A-BCD是正方體的一個(gè)角，AB=1，
從而得此正三棱錐的外接球即是相應(yīng)的正方體的外接球，此正方體的面對(duì)角線(xiàn)為，邊長(zhǎng)為1．
正方體的體對(duì)角線(xiàn)是=．
故外接球的直徑是，半徑是．
故其體積是==．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查椎體體積計(jì)算公式，本題考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是找到球的直徑與其內(nèi)接多面體的量之間的關(guān)系，由此關(guān)系求出球的半徑進(jìn)而得到其體積．考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．