Question

若函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P。
（1）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)P，并說明理由。
①y=a^x（a>1）； ②y=x³
（2）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且f（0）=f（n）=0（n>2，n∈N*），求證：對(duì)任意i∈ {1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（3）在（2）的條件下，是否對(duì)任意x∈[0，n]均有f（x）≤0，若成立給出證明，若不成立給出反例。

Answer 1

解：（1）證明：①函數(shù)f（x）=a^x（n>1）具有性質(zhì)P
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=
 
因?yàn)閍>1，
即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），此函數(shù)為具有性質(zhì)P；
②函數(shù)f（x）=x³不具有性質(zhì)P
例如，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，
2f（x）=-2，
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），此函數(shù)不具有性質(zhì)P。
（2）假設(shè)f（i）為f（1），f（2），…，f（n-1）中第一個(gè)大于0的值，
則f（1）- f（i-1）>0，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）具有性質(zhì)P，所以，對(duì)于任意n∈N*，
均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥… ≥f（i）-f（i-1）>0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）>0，
與f（n）=0矛盾，
所以，對(duì)任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0。
（3）不成立
例如
證明：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x-1，x+1均為有理數(shù)，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²-n（x-1+ x+1-2x）=2
當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，x-1，x+1均為無理數(shù)，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²=2，
所以，函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P
而當(dāng)x∈[0，n]（n>2）且當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）>0
所以，在（2）的條件下，“對(duì)任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立。