Question

14．已知函數(shù)f（x）=sinx-acosx圖象的一條對(duì)稱軸為$x=\frac{3}{4}π$，記函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，則|x₁+x₂|的最小值為（　　）

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． 0

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sinx-acosx為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用圖象關(guān)于直線$x=\frac{3}{4}π$對(duì)稱，就是$x=\frac{3}{4}π$時(shí)，函數(shù)取得最值，求出a．即可得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx-acosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x-θ），
其中tanθ=a，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
其圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{4}$π對(duì)稱，
所以$\frac{3}{4}$π-θ=$\frac{π}{2}$，θ=$\frac{π}{4}$，
所以tanθ=a=1．
則f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
若x₁，x₂為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
則當(dāng)x₁=-$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{3}{4}$π時(shí)，|x₁+x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．