Question

9．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若F，A分別是橢圓的右焦點，右頂點，H是直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與x軸的交點，設(shè)$\frac{|AF|}{|OH|}$=f（e）（e為橢圓的離心率），求f（e）的最大值；
（2）若點P（x₀，y₀）是橢圓上任意一點，從原點O作圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$的兩條切線，且兩條切線的斜率都存在，記為k₁，k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），O（0，0），F(xiàn)（c，0），A（a，0）求得|FA|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，運用離心率公式可得f（e）=e-e²，配方即可得到所求最大值；
（2）將P的坐標(biāo)代入橢圓，可得y₀²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-x₀²）①，再由直線y=kx與圓相切，可得d=r，化簡整理可得k的二次方程，運用韋達(dá)定理，可得k₁k₂，代入①，化簡整理即可得到定值．

解答 解：（1）由題設(shè)，H點的坐標(biāo)為H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），O（0，0），F(xiàn)（c，0），A（a，0）
∴|FA|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
f（e）=$\frac{|AF|}{|OH|}$=$\frac{a-c}{\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{c}{a}$-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=e-e²=-（e²-e）=-（e-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)e=$\frac{1}{2}$時，f（e）取得最大值，且為$\frac{1}{4}$；
（2）由點P（x₀，y₀）是橢圓上任意一點，
可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，即為y₀²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-x₀²），①
∵直線y=kx與圓相切，
∴d=r，即$\frac{|{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
整理可得（a²b²-x₀²（a²+b²））k²+2x₀y₀（a²+b²）k+a²b²-y₀²（a²+b²）=0，
即有k₁k₂=$\frac{{a}^{2}^{2}-{{y}_{0}}^{2}（{a}^{2}+^{2}）}{{a}^{2}^{2}-{{x}_{0}}^{2}（{a}^{2}+^{2}）}$，
代入①，化簡可得k₁k₂=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運用，考查兩點的距離公式的運用和二次函數(shù)的最值的求法，考查直線和圓相切的條件：d=r，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．