(本題滿分16分)
如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2和短軸的一個(gè)端點(diǎn)A構(gòu)成等邊三角形,
點(diǎn)(,)在橢圓C上,直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),PQ ⊥l,垂足為Q.
是否存在點(diǎn)P,使得△F1PQ為等腰三角形?
若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(1) + =1.(2)存在點(diǎn)P(-,±),使△PF1Q為等腰三角形
【解析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力
(Ⅰ)設(shè)出橢圓方程,根據(jù)△AF1F2為正三角形可推斷出a和b的關(guān)系,設(shè)b2=3λ,a2=4λ,代入橢圓方程,進(jìn)而把點(diǎn)(,)代入即可求得λ,則橢圓的方程可得.
(Ⅱ)根據(jù)(1)可求得橢圓的離心率,進(jìn)而求得PF1和PQ的關(guān)系,假設(shè)PF1=F1Q根據(jù)PF1= PQ推斷出PF1+F1Q=PQ,與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾,假設(shè)不成立,再看若F1Q=PQ,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),則Q點(diǎn)坐標(biāo)可得,進(jìn)而表示出F1Q和PQ求得x和y的關(guān)系,與橢圓方程聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo).判斷出存在點(diǎn)P,使得△PF1Q為等腰三角形。
(1)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),由已知△AF1F2為正三角形,所以
sin∠AF1O==,所以=,=.
設(shè)b2=3λ,a2=4λ,橢圓方程為+=λ.
橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,),解得λ=1,所以橢圓C的方程為 + =1.
(2)由=e=,得PF1=PQ.所以PF1≠PQ.
①若PF1=F1Q,則PF1+F1Q=PQ,與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾,
所以PF1不可能與PQ相等
②若F1Q=PQ,設(shè)P(x,y)(x≠±2),則Q(-4,y).∴=4+x,
∴9+y2=16+8x+x2,又由+=1,得y2=3-x2.
∴9+3-x2=16+8x+x2,∴x2+8x+4=0.
∴7x2+32x+16=0.∴x=-或x=-4.
因?yàn)閤∈(-2,2),所以x=-.所以P(-,±).
存在點(diǎn)P(-,±),使△PF1Q為等腰三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
a1+2a2+3a3+…+nan |
1+2+3+…+n |
n(n+1)(2n+1) |
6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿分16分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分8分,第2小題滿分8分.
已知函數(shù)(,、是常數(shù),且),對(duì)定義域內(nèi)任意(、且),恒有成立.
(1)求函數(shù)的解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;
(2)求的取值范圍,使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿分16分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.?dāng)?shù)列中,,
.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若存在常數(shù)使數(shù)列是等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)求證:①;②.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:江蘇省私立無(wú)錫光華學(xué)校2009—2010學(xué)年高二第二學(xué)期期末考試 題型:解答題
本題滿分16分)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB = 2,BC = 6,CD = DA = 4;求四邊形ABCD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷(文) 題型:解答題
(本題滿分16分;第(1)小題5分,第(2)小題5分,第三小題6分)
已知函數(shù)
(1)判斷并證明在上的單調(diào)性;
(2)若存在,使,則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求的值;
(3)若在上恒成立 , 求的取值范圍.
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