Question

14．橢圓的兩個焦點分別為F₁（-1，0）和F₂（1，0），若該橢圓與直線x+y-3=0有公共點，則其離心率的最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$-1
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{12}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$

Answer 1

分析 由題意，c=1，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$，從而a越小e越大，而橢圓與直線相切時，a最小，由此能求出其離心率的最大值．

解答 解：∵橢圓的兩個焦點分別為F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴由題意，c=1，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$，
∴a越小e越大，而橢圓與直線相切時，a最小
設(shè)橢圓為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，
把直線x+y-3=0代入，化簡整理可得（2a²-1）x²+6a²x+10a²-a⁴=0
由△=0，解得：a²=5，
于是a=$\sqrt{5}$，
e_max=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的離心率的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．