Question

2．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整數(shù)k的值．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931，ln3=1.0986）

Answer 1

分析 （I）利用導數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；
（II）分離參數(shù)得出k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$，使用導數(shù)求出右側函數(shù)的最小值，得出k的范圍．

解答 解：（I）a=-2時，f（x）=xlnx-2x，則f′（x）=lnx-1．
令f′（x）=0得x=e，
當0＜x＜e時，f′（x）＜0，當x＞e時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞增區(qū)間為（e，+∞）．
（II）若對任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，
則xlnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，即k（x-1）＜xlnx+ax-ax+x恒成立，
又x-1＞0，則k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$對任意x∈（1，+∞）恒成立，
設h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，則h′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$．
設m（x）=x-lnx-2，則m′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，則m（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∵m（1）=-1＜0，m（2）=-ln2＜0，m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得m（x₀）=0，
當x∈（1，x₀）時，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
當x∈（x₀，+∞）時，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）的最小值h_min（x）=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$．
∵m（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，∴l(xiāng)nx₀=x₀-2．∴h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=x₀．
∴k＜h_min（x）=x₀．
∵3＜x₀＜4，
∴k≤3．
∴k的值為1，2，3．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，構造函數(shù)求出h（x）的最小值是解題關鍵，屬于難題．