Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)曲線上平行于x軸的所有切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（I）若a=1，則f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1．
令f′（x）=0?3x²+2x-1=0?x=-1或x=．
把x=-1代入f（x）=x³+x²-x得：f（-1）=1．所以切線方程為：y-1=0×（x+1）?y-1=0；
把x=代入f（x）=x³+x²-x得：f（）=．所以切線方程為：y-=0×（x-）?y-=0．
（II）：由題得：x＞
∵=ax²+x-a-lnx；
∴g′（x）=2ax+1-=；
所以：g′（x）≥0?≥0?2ax²+x-1≥0．
①當(dāng)a=0時(shí)，2ax²+x-1=x-1≥0?x≥1，此時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），
②當(dāng)a≤-，2ax²+x-1≥0恒成立，此時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞），
③當(dāng)a＞-且a≠0時(shí)，2ax²+x-1≥0?≤x≤，
（Ⅰ）當(dāng)-＜a＜0或a＞1時(shí)，有＞，此時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞）；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有＜，此時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞），
綜合可得當(dāng)a≤-或0＜a＜1時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞），
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），
當(dāng)-＜a＜0或a＞1時(shí)，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞）．
分析：（I）先求出函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值等于0求出對(duì)應(yīng)的，并求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到切線方程．
（II）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)大于等于0的區(qū)間即可得到其單調(diào)遞增區(qū)間，注意是在定義域內(nèi)找增減區(qū)間，要避免出錯(cuò)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．切線斜率的求法是先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值極為切線斜率，還考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．