Question

15．若關(guān)于x的不等式-x²+x＞mx的解集為{x|-1＜x＜0}，且函數(shù)f（x）=x（x-m）²在x=n處有極小值，則n=2．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式的解集，求出m的值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵不等式-x²+x＞mx的解集為{x|-1＜x＜0}，
∴0，-1是方程-x²+x=mx的兩個根，
則-1-1=-m=-2，
即m=2，
則f（x）=x（x-m）²=x（x-2）²，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x-2）²+2x（x-2）=（x-2）（3x-2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜$\frac{2}{3}$此時函數(shù)單調(diào)遞增，
f′（x）＜0得$\frac{2}{3}$＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=2時，函數(shù)取得極小值，即n=2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查函數(shù)極值和不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用不等式的解集求出m的值是解決本題的關(guān)鍵．