Question

已知F，F(xiàn)'分別是橢圓C₁：17x²+16y²=17的上、下焦點，直線l₁過點F'且垂直于橢圓長軸，動直線l₂垂直l₁于點G，線段GF的垂直平分線交l₂于點H，點H的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線l：x-y-2=0上運動，且過點P作軌跡C₂的兩務(wù)切線PA、PB，切點為A、B，試猜想∠PFA與∠PFB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵17x²+16y²=17，∴
∴橢圓半焦距長為，F(xiàn)′（0，-），F(xiàn)（0，），
∵|HG|=|HF|
∴動點H到定直線l：y=-與定點F（0，）的距離相等
∴動點H的軌跡是以定直線l；y=-為準(zhǔn)線，定點F（0，）為焦點的拋物線
∴軌跡C₂的方程是x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB
證明如下：由（Ⅰ）可設(shè)A，B（x₁≠x₂）
∴切線AP的方程為：，切線BP的方程為：
聯(lián)立方程組可解得P的坐標(biāo)為，y_P=x₁x₂
∵P在拋物線外，∴
∵=，=（，），=
∴cos∠AFP==
同理cos∠BFP==
∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠PFA=∠PFB．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓方程確定橢圓半焦距長及焦點坐標(biāo)，從而可得動點H到定直線l：y=-與定點F（0，）的距離相等，利用拋物線的定義，即可確定軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB．證明先確定切線AP、BP的方程，聯(lián)立方程組可解得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量的夾角公式，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的切線，考查向量知識的運用，正確運用向量的夾角公式是關(guān)鍵．