已知函數(shù)
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)求證:不等式恒成立.
【答案】分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論:若a≤0,則f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù);若a>0,令f′(x)>0,可得f(x)的單調(diào)增區(qū)間,令f′(x)<0,可得單調(diào)減區(qū)間;
(II)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),可得f'(x)==,令g(x)=(x-1)2-x(lnx)2,g'(x)=2(x-1)-(lnx)2-2lnx,g“(x)=,設(shè)h(x)=x-lnx-1,x∈(1,2),證明h(x)在(1,2)上單調(diào)增,從而可得g'(x)在(1,2)上單調(diào)增,進(jìn)一步可得g(x)在(1,2)上單調(diào)增f(x)在(1,2)上單調(diào)減,即可得到結(jié)論.
解答:(I)解:求導(dǎo)函數(shù),可得(x>0)
若a≤0,則f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)
若a>0,令f′(x)>0,可得x>a,令f′(x)<0,可得0<x<a,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,a);
(II)證明:設(shè),求導(dǎo)函數(shù),可得f'(x)==
令g(x)=(x-1)2-x(lnx)2,g'(x)=2(x-1)-(lnx)2-2lnx,g“(x)=
設(shè)h(x)=x-lnx-1,x∈(1,2),h'(x)=1->0,
∴h(x)在(1,2)上單調(diào)增,∴h(x)>h(1)=0,
∴g“(x)>0,g'(x)在(1,2)上單調(diào)增,∴g'(x)>g'(1)=0,
∴g(x)在(1,2)上單調(diào)增,∴g(x)>g(1)=0,
∴f'(x)<0,∴f(x)在(1,2)上單調(diào)減,f(x)<f(2)<0,


點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性.
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已知函數(shù)
(I )求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若將f(x)的圖象按向量平移得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)區(qū)間及值域.

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已知函數(shù)
(I)求f(x)最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)若上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知函數(shù)
(I)求f(x)最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)若上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知函數(shù)

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   (II)若對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

   (III)若關(guān)于x的方程在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

 

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