Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an+1= Sn ． 求證：
（1）數(shù)列{ }成等比；
（2）Sn+1=4an ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1= Sn，

∴Sn= ，Sn﹣1= ，n≥2

∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

即2n× = ，

∵n≠0，∴ = ，

∴ ，（n≥2）

即 ： =2，

n=1時， = =1，

∴{ }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．

（2）證明：∵{ }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，

∴ =2n﹣1，∴Sn=n2n﹣1，

∴an+1= Sn= =（n+2）2n﹣1，

∴an=（n+1）2n﹣2．

∴Sn+1=（n+1）2n=4an．
【解析】（1）由an+1= Sn ， 知Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，從而 = ，進而 ，（n≥2），由此能證明{ }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）可知Sn=n2n﹣1 ， an=（n+1）2n﹣2 ． 由此能證明Sn+1=（n+1）2n=4an ．
【考點精析】利用等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．