【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

【答案】
（1）證明：取線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF．則AF=CD，AF∥CD，

所以四邊形ADCF是平行四邊形，

則CF∥AD；

又EF∥AP且CF∩EF=F，

∴面CFE∥面PAD，

又EC面CEF，

∴EC∥平面PAD


（2）解：如圖，以C為原點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F， 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向，

建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．

設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（ ，﹣ ， ），

=（1，1，0）， =（0，0，a）， = ，﹣ ， ），

取 =（1，﹣1，0），則 為面PAC的法向量．

設(shè) =（x，y，z）為面EAC的法向量，則

取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），

依題意，|cos＜ ， ＞|= = ，則a=1．

于是 =（1，﹣1，﹣2）， =（1，1，﹣2）．

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 ．


【解析】（1）取線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，證明四邊形ADCF是平行四邊形，進(jìn)而證明面CFE∥面PAD，即可證明EC∥平面PAD；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值為 ，可求a的值，從而可求 ，利用向量的夾角公式即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在下列四組函數(shù)中，f（x）與g（x）表示同一函數(shù)的是（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率等于．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)．若，試求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0時(shí)，有 ＞0．
（Ⅰ）證明f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1對(duì)x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= （x∈R）
（1）用定義證明f（x）是增函數(shù)；
（2）若g（x）=f（x）﹣a是奇函數(shù)，求g（x）在（﹣∞，a]上的取值集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣（m﹣1）x+2m
（1）若函數(shù)f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在單調(diào)遞增，其中．

（1）求的值；

（2）若，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小關(guān)系（其中是的導(dǎo)函數(shù)），請(qǐng)寫出詳細(xì)的推理過(guò)程；

（3）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形， 為等腰三角形， ，平面平面，且， ， 分別為的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求四棱錐的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案