Question

10．已知sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的兩實(shí)根．求：
（1）m的值；
（2）當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，求$\frac{1}{tan（3π-α）}$的值；
（3）sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）由根與系數(shù)的關(guān)系寫出sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinα•cosα=$\frac{m}{5}$，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，即可求得m的值；
（2）根據(jù)同角的基本關(guān)系求得tanx的值，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求得原式的值；
（3）根據(jù)立方和公式，即可求得sin³α+cos³α的值．

解答 解：（1）sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的兩實(shí)根．
sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinα•cosα=$\frac{m}{5}$，
sin²α+cos²α=（sinα+cosα）²-2sinαcosα=1
$\frac{1}{25}$-$\frac{2m}{5}$=1
m=-$\frac{12}{5}$，
（2）sinα和cosα是方程25x²-5x-12=0的兩實(shí)根．α∈（0，π）時(shí)，sinα＞0，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，或sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$（舍去），
∴tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{tan（3π-α）}$=$-\frac{1}{tanα}$=$\frac{3}{4}$；
（3）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α+cos²α-sinαcosα），
=（sinα+cosα）（1-sinαcosα），
∵sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，或sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴sin³α+cos³α=$\frac{1}{5}$×（1+$\frac{12}{25}$）=$\frac{37}{125}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查韋達(dá)定理與求三角求值相結(jié)合，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．