Question

14．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x≤4}\\{{2}^{|x-5|}，x＞4}\end{array}\right.$若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是（　　）

• A． （24，25）
• B． [16，25）
• C． （1，25）
• D． （0，25]

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)f（x）的圖象，再根據(jù)條件利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合，即可求出其范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
不妨令a＜b＜c＜d，
則0＜a＜1，1＜b＜4，
則log₂a=-log₂b，即log₂a+log₂b=log₂ab=0，
則ab=1，
同時(shí)c∈（4，5），d∈（5，6），
∵c，d關(guān)于x=5對(duì)稱，∴$\frac{c+d}{2}$=5，
則c+d=10，則10=c+d，
同時(shí)cd=c（10-c）=-c²+10c=-（c-5）²+25，
∵c∈（4，5），
∴cd∈（24，25），
即abcd=cd∈（24，25），
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，由題意正確畫出圖象和熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．