Question

已知函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，總有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　�。�

• A、（-1，0）∪（0，1）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由條件可知，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，則在（-∞，0）上為增函數(shù)，f（-x）=-f（x），不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0即為

2f(x)

x

＜0，即有

x＞0 f(x)＜0=f(1)

或

x＜0 f(x)＞0=f(-1)

，再由單調性即可得到解集．

解答： 解：由條件可知，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，則在（-∞，0）上為增函數(shù)，f（-x）=-f（x），
由f（1）=0，則f（-1）=0，
不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0即為

2f(x)

x

＜0，
即有

x＞0 f(x)＜0=f(1)

或

x＜0 f(x)＞0=f(-1)

，
即有0＜x＜1或-1＜x＜0，
則解集為（-1，0）∪（0，1）
故選A．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷及運用：解不等式，考查運算能力，屬于中檔題．