Question

方程x²-2ax+a+

3

4

=0，有二實(shí)根α、β，則（α-1）²+（β-1）²的最小值為

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)方程有兩個(gè)根，利用根的判別式求出a的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出α+β與αβ的值，然后把（α-1）²+（β-1）²整理成α+β與αβ的形式，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．

解答：解：依題意△=4a²-4（a+

3

4

）≥0，
即4a²-4a-3≥0，
∴a≤-

1

2

或a≥

3

2

，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系
α+β=2a，αβ=a+

3

4

y=α²+β²-2（α+β）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-6a+

1

2

，
=4（a-

3

4

）²-

7

4

，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得
當(dāng)a=

3

2

時(shí)，y的最小值為

1

2

．（12分）
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，利用根的判別式求出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵，也是容易出錯(cuò)的地方．