Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，且y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]內(nèi)的最大值為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若g（$\frac{3}{4}$B）=l，且a+c=2，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m=sin2x-cos2x-1+m=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1+m，
∴g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]-1+m=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1+m，
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值$\sqrt{2}$+m-1=$\sqrt{2}$，
則m=1．        
（Ⅱ）∵g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），且g（$\frac{3}{4}$B）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=l，
即sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜$\frac{3}{2}$B＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，∴當(dāng)$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，即B=$\frac{π}{3}$，
∵a+c=2，∴由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-$\frac{3（a+c）^{2}}{4}=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)等號(hào)成立，
又b＜a+c=2，∴1≤b＜2，
∴△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c∈[3，4），
故△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍是[3，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及解三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．