Question

已知坐標平面上點與兩個定點的距離之比等于5.
(1)求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
(2)記(1)中的軌跡為，過點的直線被所截得的線段的長為8，求直線的方程

Answer 1

（1）點M的軌跡方程是(x－1)²＋(y－1)²＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓
（2）直線l的方程為x＝－2，或5x－12y＋46＝0．

試題分析：解：(1)由題意，得＝5．，化簡，得x²＋y²－2x－2y－23＝0．即(x－1)²＋(y－1)²＝25．∴點M的軌跡方程是(x－1)²＋(y－1)²＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓．
(2)當直線l的斜率不存在時，l：x＝－2，此時所截得的線段的長為，∴l(xiāng)：x＝－2符合題意．當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圓心到l的距離，由題意，得，解得．∴直線l的方程為．即5x－12y＋46＝0．綜上，直線l的方程為x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
點評：解決的關鍵是根據直接法來得到點滿足的幾何關系，然后坐標化得到求解，并能結合直線與圓的位置關系來得到，屬于基礎題。