分析 (Ⅰ)由橢圓右焦點(diǎn)F(√2,0),點(diǎn)D(√2,1)在橢圓上,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),則B(-x1,-y1),設(shè)P(2cosθ,√2sinθ),則 kPA•kPA=y12−2sin2θx12−4cos2θ,由此能推導(dǎo)出kPA•kPB為定值.
解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),右焦點(diǎn)F(√2,0),點(diǎn)D(√2,1)在橢圓上,
∴{c=√22a2+12=1a2=2+c2,解得a2=4,b2=2,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),∵直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),∴B(-x1,-y1).
∵P為橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)P(2cosθ,√2sinθ),
則 kPA=y1−√2sinθx1−2cosθ,kPA=−y1−√2sinθ−x1−2cosθ=y1+√2sinθx1+2cosθ,
∴kPPA•kPA=y1−√2sinθx1−2cosθ•y1+√2sinθx1+2cosθ=y12−2sin2θx12−4cos2θ,
∵A在橢圓上,∴x124+y122=1,∴y12=2(1-x124),
∴kPA•kPA=2(1−x124)−2sin2θx12−4cos2θ=2cos2θ−x122x12−4cos2θ=-12,
∴kPA•kPB為定值-12.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和參數(shù)方程的合理運(yùn)用.
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A. | y=2sin(π3x+π6) | B. | y=2sin(π3x+5π6) | C. | y=2sin(π2x+π6) | D. | y=2sin(π2x+5π6) |
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A. | a>1 | B. | a<1 | C. | a≥1 | D. | a≤1 |
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