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3.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),右焦點(diǎn)F(2,0),點(diǎn)D(2,1)在橢圓上
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn);若直線PA,PB的斜率都存在,判斷kPA•kPB是否為定值.

分析 (Ⅰ)由橢圓右焦點(diǎn)F(2,0),點(diǎn)D(2,1)在橢圓上,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),則B(-x1,-y1),設(shè)P(2cosθ,2sinθ),則 kPA•kPA=y122sin2θx124cos2θ,由此能推導(dǎo)出kPA•kPB為定值.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),右焦點(diǎn)F(2,0),點(diǎn)D(2,1)在橢圓上,
{c=22a2+12=1a2=2+c2,解得a2=4,b2=2,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),∵直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),∴B(-x1,-y1). 
∵P為橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)P(2cosθ,2sinθ),
則 kPA=y12sinθx12cosθ,kPA=y12sinθx12cosθ=y1+2sinθx1+2cosθ
∴kPPA•kPA=y12sinθx12cosθy1+2sinθx1+2cosθ=y122sin2θx124cos2θ,
∵A在橢圓上,∴x124+y122=1,∴y12=2(1-x124),
∴kPA•kPA=21x1242sin2θx124cos2θ=2cos2θx122x124cos2θ=-12,
∴kPA•kPB為定值-12

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和參數(shù)方程的合理運(yùn)用.

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
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