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3.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),右焦點(diǎn)F(2,0),點(diǎn)D(2,1)在橢圓上
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn);若直線PA,PB的斜率都存在,判斷kPA•kPB是否為定值.

分析 (Ⅰ)由橢圓右焦點(diǎn)F(2,0),點(diǎn)D(2,1)在橢圓上,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),則B(-x1,-y1),設(shè)P(2cosθ,2sinθ),則 kPA•kPA=\frac{{{y}_{1}}^{2}-2si{n}^{2}θ}{{{x}_{1}}^{2}-4co{s}^{2}θ},由此能推導(dǎo)出kPA•kPB為定值.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0),右焦點(diǎn)F(\sqrt{2},0),點(diǎn)D(\sqrt{2},1)在橢圓上,
\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.,解得a2=4,b2=2,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),∵直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),∴B(-x1,-y1). 
∵P為橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)P(2cosθ,\sqrt{2}sinθ),
則 kPA=\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}sinθ}{{x}_{1}-2cosθ},kPA=\frac{-{y}_{1}-\sqrt{2}sinθ}{-{x}_{1}-2cosθ}=\frac{{{y}_{1}+\sqrt{2}sinθ}^{\;}}{{x}_{1}+2cosθ}
∴kPPA•kPA=\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}sinθ}{{x}_{1}-2cosθ}\frac{{{y}_{1}+\sqrt{2}sinθ}^{\;}}{{x}_{1}+2cosθ}=\frac{{{y}_{1}}^{2}-2si{n}^{2}θ}{{{x}_{1}}^{2}-4co{s}^{2}θ},
∵A在橢圓上,∴\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1,∴{{y}_{1}}^{2}=2(1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}),
∴kPA•kPA=\frac{2(1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4})-2si{n}^{2}θ}{{{x}_{1}}^{2}-4co{s}^{2}θ}=\frac{2co{s}^{2}θ-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}{{{x}_{1}}^{2}-4co{s}^{2}θ}=-\frac{1}{2},
∴kPA•kPB為定值-\frac{1}{2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和參數(shù)方程的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(II)若直線A1E與B1F的斜率是互為相反數(shù).
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