設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).對(duì)任意x1、x2∈[0,]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).

(1)設(shè)f(1)=2,求f(),f();

(2)證明f(x)是周期函數(shù).

答案:
解析:

  解答  (1)由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1、x2∈[0, ]知f(x)=f( )·f( )≥0,x∈[0,1]

  解答  (1)由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1、x2∈[0,]知f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1].

  ∵f(1)=f()·f()=[f()]2,∴f()=

  同理:f()=[f()]2,∴f()=

  (2)依題設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),

  故f(x)=f(1+1-x),

  即f(x)=f(2-x),x∈R.

  又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),x∈R,

  ∴f(-x)=f(2-x),x∈R,

  將上式中-x以x代換,得f(x)=f(x+2),x∈R,

  這表明f(x)是R上的周期函數(shù),且2是它的一個(gè)周期.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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(01全國(guó)卷理)(14分)

設(shè)f (x) 是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x = 1對(duì)稱(chēng).對(duì)任意x1,x2∈[0,]都有f (x1x2) = f (x1) ? f (x2).且f (1) = a>0.

    (Ⅰ)求f () 及f ();

(Ⅱ)證明f (x) 是周期函數(shù);

(Ⅲ)記an = f (2n),求

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的一個(gè)函數(shù),函數(shù)g(x)= f(0n)(1-x)n+f()x(1-x)n-1+…+f()xn(1-x)0(x≠0,1).

(1)當(dāng)f(x)=1時(shí),求g(x);

(2)當(dāng)f(x)=x時(shí),求g(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且f(x+3)=-,又當(dāng)-3≤x≤-2時(shí),f(x)=2x,則f(113.5)的值是(    )

A.                  B.-                 C.                 D.-

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設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1],f(x)=其中a,bR.f=f,a+3b的值為    .

 

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設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)xR,都有f(x+4)=f(x),且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=()x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是

A.(1,2)        B. (2,+∞)       C. (1,)       D. (,2)

 

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