Question

【題目】已知半徑為 ，圓心在直線l1：x﹣y+1=0上的圓C與直線l2： x﹣y+1﹣ =0相交于M，N兩點，且|MN|=
（1）求圓C的標準方程；
（2）當圓心C的橫、縱坐標均為整數(shù)時，若對任意m∈R，直線l3：mx﹣y+ +1=0與圓C恒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設C（a，a+1），圓心到直線的距離d= = ，

∴a=0或3+ ，

∴圓C的標準方程為x2+（y﹣1）2=5或（x﹣3﹣ ）2+（y﹣4﹣ ）2=5；

（2）解：圓C的標準方程為x2+（y﹣1）2=5，對任意m∈R，

直線l3：mx﹣y+ +1=0與圓C恒有公共點，

∴ ≤ ，

∴0≤a≤5（m2+1），∴0≤a≤5．

【解析】（1）由題意，設C（a，a+1），圓心到直線的距離d= = ，求出a，可得圓C的標準方程；（2）圓C的標準方程為x2+（y﹣1）2=5，對任意m∈R，直線l3：mx﹣y+ +1=0與圓C恒有公共點， ≤ ，即可求實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】掌握直線與圓的三種位置關系是解答本題的根本，需要知道直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．