Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，且，O，M分別為，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設(shè)是線段上一點(diǎn)，滿足平面平面，試說明點(diǎn)的位置；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）中點(diǎn)；（Ⅲ）．

【解析】

試題（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理，因?yàn)?/span>O，M分別為，的中點(diǎn)，所以，即可證明平面；

（Ⅱ）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，兩個(gè)平行平面被第三個(gè)平面所截，則交線平行，根據(jù)已知平面平面，與平面交于，所以，則能推出點(diǎn)的位置．

（Ⅲ）由條件平面平面，為等邊三角形，所以，再根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求面積和高，即為體積．

試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>O，M分別為，的中點(diǎn)，

所以．因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）解：連結(jié)ON，MN．因?yàn)槠矫?/span>平面，

且平面平面，平面平面，所以．

因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以N為的中點(diǎn)．

（Ⅲ）解：因?yàn)?/span>，且，且O為的中點(diǎn)，

所以，．

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面，可知三棱錐的體積．

其中，，，則．