Question

5．已知圓C₁：（x+1）²+y²=25，圓C₂：（x-1）²+y²=1，動(dòng)圓C與圓C₁和圓C₂均內(nèi)切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P（1，t）為軌跡E上點(diǎn)，且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB斜率互為相反數(shù)，則直線AB斜率是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓（x+1）²+y²=1的圓心C₁（-1，0），半徑r₁=1；圓（x-1）²+y²=25的圓心C₂（1，0），半徑r₂=5．設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），半徑r．由于動(dòng)圓C與圓（x+1）²+y²=1及圓（x-1）²+y²=25都內(nèi)切，可得|C₁C|=r-1，|C₂C|=5-r．于是|C₁C|+|C₂C|=5-1=4＞|C₁C₂|=2，利用橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓；
（Ⅱ）把P的坐標(biāo)代入橢圓方程，求得t值，然后設(shè)出過(guò)PA的直線方程，PB的直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，代入斜率公式可得直線AB斜率為定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：圓C₁：（x+1）²+y²=25的圓心C₁（-1，0），半徑r₁=5；圓C₂：（x-1）²+y²=1的圓心C₂（1，0），半徑r₂=1．
設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），半徑r．
∵動(dòng)圓C與圓C₁，圓C₂均內(nèi)切，
∴|C₁C|=5-r，|C₂C|=r-1．
∴|C₁C|+|C₂C|=5-1=4＞|C₁C₂|=2，
因此動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓，且2a=4，2c=2，得a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3．
因此動(dòng)圓圓心C的軌跡E方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）如圖，
∵點(diǎn)P（1，t）為軌跡E上點(diǎn)，且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn)，
∴$\frac{1}{4}+\frac{{t}^{2}}{3}=1$，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)PA所在直線方程為y-$\frac{3}{2}=k（x-1）$，則PB所在直線方程為$y-\frac{3}{2}=-k（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-（8k²-12k）x+4k²-12k-3=0，
則${x}_{A}+1=\frac{8{k}^{2}-12k}{3+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{A}=\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{A}=\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$，
取k為-k，可得${x}_{B}=\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}，{y}_{B}=\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$，
∴${k}_{AB}=\frac{\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}-\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}}{\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}}=\frac{1}{2}$．
∴直線AB斜率為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)、橢圓的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．