Question

（2013•鹽城三模）已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=-

7 2

10

．
（1）求cos2α的值；
（2）求2α-β的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)，通過分母“1=sin²α+cos²α”的代換，然后化簡分式2tanα的形式，代入數(shù)值全家健康．
（2）通過α，β的范圍求出sin2α，sinβ，通過二倍角的正弦函數(shù)，求出sin（2α-β）的值，結(jié)合角的范圍求出角的大小即可．

解答：解：（1）cos2α=cos²α-sin²α=

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

1-tan2α

1+tan2α

，
因為tanα=2，所以

1-tan2α

1+tan2α

=

1-4

1+4

=-

3

5

，
所以cos2α=-

3

5

．
（2）因為α∈（0，π），且tanα=2，所以α∈(0，

π

2

)
又cos2α=-

3

5

，∴2α∈(

π

2

，π)，sin2α=

4

5

，
因為β∈（0，π），cosβ=-

7 2

10

．
所以sinβ=

2

10

，β∈(

π

2

，π)，
所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ
=

4

5

×(-

7 2

10

)-(-

3

5

)×

2

10

=-

2

2

，
又2α-β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴2α-β=-

π

4

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)與兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力，注意角的范圍是解題的關(guān)鍵．