Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）PD∥平面EAC．
（2）求平面ACE分四棱錐兩部分E-ABC與PE-ACD的體積比．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的性質(zhì)，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平行線分線段成比例，算出DC=2AB，從而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由線面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．
（2）求出三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積比，即可求出平面ACE分四棱錐兩部分E-ABC與PE-ACD的體積比．

解答 （1）證明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=$\frac{π}{4}$，
∴∠DCA=∠BAC=$\frac{π}{4}$，
又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形，
∴DC=$\sqrt{2}$AC=2AB．
連接BD，交AC于點(diǎn)M，則$\frac{DM}{MB}$=$\frac{DC}{AB}$=2．
連接EM，在△BPD中，$\frac{PE}{EB}$=$\frac{DM}{MB}$=2，∴PD∥EM，
又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC；
（2）解：由PE=2EB知三棱錐E-ABC的高是四棱錐P-ABCD的高的$\frac{1}{3}$．
△ABC的面積為$\frac{1}{2}$，四邊形ABCD的面積為$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
∴三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積比為$\frac{1}{9}$，
∴平面ACE分四棱錐兩部分E-ABC與PE-ACD的體積比為$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出底面是直角梯形的四棱錐，求證線面平行和平面ACE分四棱錐兩部分E-ABC與PE-ACD的體積比．著重考查了空間線面平行的判定定理，考查體積的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．