Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，f（a）=4（a＞0且a≠1），
（1）求a，b的值；
（2）求的值域；
（3）求的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（log₂a）=b，f（a）=4代入，結(jié)合a＞0且a≠1可求a，b
（2）由（1）可得，y=log₂x，結(jié)合及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的值域
（3）由=，結(jié)合二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
解答：解：（1）∵f（log₂a）=b，f（a）=4
∴a²-a+b=4，
∴l(xiāng)og₂a=1或log₂a=0（舍）
∴a=2，b=2； 
（2）由（1）可得，y=log₂x
∵
∴-1≤y≤2
故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]
（3）∵=
令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∵函數(shù)t=x²-2x-1=（x-1）²-2對(duì)稱軸x=1，則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知可得單調(diào)減區(qū)間：（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間：（1，+∞）
∵y=2^t為單調(diào)遞增函數(shù)
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間：（-∞，1）；增區(qū)間：（1，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的函數(shù)解析式，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域的求解，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．