Question

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω，0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）最小正周期以及使f（x）取最小值的x的集合；
（3）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）由f（x）最小正周期為

2π

ω

，運算求得結果，要使f（x）取最小值，需sin（

2

3

x+

π

3

）=-1，故

2

3

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，由此求得使f（x）取最小值的x的集合．
（3）令2kπ-

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．令2kπ+

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω，0，|φ|＜

π

2

）的圖象可得A=2，由

1

2

•T=

1

2

•

2π

ω

=

7π

4

-

π

4

=

3π

2

，∴ω=

2

3

．
再由五點法作圖可得 

2

3

×

π

4

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

，故函數(shù)y=2sin（

2

3

x+

π

3

）．
（2）由（1）可得f（x）最小正周期為

2π

ω

=

2π

2 3

=3π．
要使f（x）取最小值，有sin（

2

3

x+

π

3

）=-1，故

2

3

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，解得 x=3kπ-

5π

4

，
故使f（x）取最小值的x的集合為 {x|x=3kπ-

5π

4

，k∈z}．
（3）令2kπ-

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

，故函數(shù)的增區(qū)間為[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得3kπ+

π

4

≤x≤3kπ+

7π

4

，故函數(shù)的增區(qū)間為[3kπ+

π

4

，3kπ+

7π

4

]，k∈z．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性與求法，求得函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的單調(diào)區(qū)間與最值，屬于中檔題．