Question

已知開口向上的二次函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）成立，設(shè)向量a=（|x+2|+|2x-1|，1），b=（1，2）．求不等式f（a•b）＜f（5）的解集．

Answer 1

分析：由已知中二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）成立，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，又由函數(shù)圖象的開口方向向上，故不等式f（

a

•

b

）＜f（5）可以轉(zhuǎn)化為-1＜

a

•

b

＜5，根據(jù)向量數(shù)量公式，我們可以構(gòu)造出關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：由題意知f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，…（1分）
∵

a

•

b

=|x+2|+|2x-1|+2≥2…（2分）
∴f（

a

•

b

）＜f（5）?a•b＜5?|x+2|+|2x-1|＜3（*）   …（3分）
當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式（*）可化為-（x+2）-（2x-1）＜3，
∴x＞-

4

3

，…（5分）
此時(shí)x無(wú)解；…（6分）
當(dāng)-2＜x＜

1

2

時(shí)，不等式（*）可化為x+2-（2x-1）＜3，
∴x＞0，…（8分）
此時(shí)0＜x＜

1

2

；…（9分）
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，不等式（*）可化為x+2+2x-1＜3，
∴x＜

2

3

，…（11分）
此時(shí)

1

2

≤x＜

2

3

．…（12分）
綜上可知：不等式f（a•b）＜f（5）的解集為(0，

2

3

)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中根據(jù)已知條件分析出二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，并將不等式f（

a

•

b

）＜f（5）可以轉(zhuǎn)化為-1＜

a

•

b

＜5，是解答本題的關(guān)鍵．